Грубая математическая ошибка в польской  монографии 
Анджея  Пегата и чудеса в сфере диссертаций в России

Не пугайтесь приведенных ниже  формул, они не сложнее формул из школьного учебника по алгебре. Если что-то будет непонятно, то обратитесь к учителю математики или знакомому математику. Материал доступен любому из студентов первого курса, обучающихся на специальностях, связанных с применением математики.
Ниже приведу разоблачение научной ценности одной из недавно защищенных и утвержденных Министерством образовании и науки РФ   диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук. В диссертации используется математический аппарат нечеткой логики для создания систем контроля и управления для повышения эффективности механической обработки изделий. Этот аппарат широко используется, но, кроме профессиональных математиков, мало кто знаком с его особенностями и тонкостями применения, которые никак нельзя нарушать в приложениях. Однако в рассматриваемой диссертации Бобыря Максима  Владимировича грубо нарушены требования и научные положения нечеткой логики.  Автор диссертации ссылается на то, что он использовал формулу, которая приведена в польской монографии Анджея Пегата. Рассмотрим формулу из этой монографии и проведем детальный анализ с целью доказательства грубой  ошибки. 
В нечеткой логике  (fuzzy logic) или теории нечетких множеств традиционно  используется логическая операция t-нормы [1, стр.134], которая выполняется путем  выбора минимального из двух чисел MIN(х₁, х₂), где х₁ и х₂ – степени принадлежности элементов к нечеткому множеству, которые задаются только на интервале  [0,1]. Очевидно, что результат выполнения этой разновидности t-нормы принимает значение из интервала чисел [0, 1]. Данная логическая операция применяется  для определения степени принадлежности элементов как к пересечению двух нечетких множеств, так и для определения степени принадлежности элементов к прямому произведению двух и более исходных нечетких множеств (пересечение двух и более цилиндрических расширений  исходных нечетких множеств). Также известна другая  алгебраическая формула выполнения логической операции t-нормы [1] путем вычисления минимума двух заданных степеней принадлежности х₁ и х₂,  а результат выполнения оператораMIN(х₁, х₂) также с необходимостью является степенью принадлежности, следовательно, также принимает значения  на интервале [0, 1]. Эта формула приведена в работе [1] Анджея Пегата под номером 4.14 на  странице 135 (так называемый «жесткий» минимум)
MIN(х₁, х₂) = 0,5∙[х₁ + х₂ – (х₁ – х₂)∙sgn(х₁ – х₂)],                                             (1)
где sgn(х₁ – х₂) – форма записи оператора знака разности (+1, если х₁ > х₂; 0, если х₁ = х₂; –1, если х₁ < х₂).
Также в работе А. Пегата [1] (рис. 4.4б, стр. 136) приведена еще одна известная форма оператора, задающего знак разности  (х₁ – х₂) (4.15, стр. 136) в [1].  Она названа «мягкой» формой оператора   и представляет собой выражение в виде дроби 
sgn_δ(х₁ – х₂) = (х₁ – х₂)/sqrt((х₁ – х₂)² + δ²),                                                      (2)
где δ = 0,05 в соответствии с [1], sqrt(….) – обозначает «корень квадратный» из выражения, стоящего в скобках. 
Обозначим А = sqrt((х₁ – х₂)² + δ²), не равное 0.                                             (2*)
Подставим (2) в формулу (1) c учетом обозначения (2*) и получим 
MIN_δ(х₁, х₂) = 0,5∙[х₁ + х₂ – (х₁ – х₂)∙(х₁ – х₂)/А] =  0,5∙[х₁ + х₂ –  (х₁ – х₂)²/А].       Прибавим и вычтем δ² в числителе дроби (х₁ – х₂)²/А), тогда получим «мягкую» форму минимума
MIN_δ(х₁, х₂) = 0,5∙[х₁ + х₂ –  (((х₁ – х₂)² + δ²)  – δ²) /А].                                   (3)
Разделим на А каждый из двух фрагментов (х₁ – х₂)² + δ²) и – δ² в числителе дроби (((х₁– х₂)² + δ²)  – δ²)/А и получим 
MIN_δ(х₁, х₂) = 0,5∙[х₁ + х₂ –  (((х₁ – х₂)² + δ²)/А – δ²/А)].                                 (4)
Очевидно, что ((х₁ - х₂)² + δ²)/А = А, поскольку (х₁ – х₂)² + δ² = А², отсюда
MIN_δ(х₁, х₂) = 0,5∙[х₁ + х₂ –  (А + δ²/А)] или с учетом обозначений (2*)
MIN_δ(х₁, х₂) = 0,5∙[х₁ + х₂ –  (sqrt((х₁ – х₂)² + δ²) – δ²/sqrt((х₁ – х₂)² + δ²)] отсюда
MIN_δ(х₁, х₂) = 0,5∙[х₁ + х₂ + δ²/sqrt((х₁ – х₂)² + δ²) –  sqrt((х₁ – х₂)² + δ²)].      (5)
Однако в монографии [1] Анджея Пегата вместо корректной формулы (5) под номером 4.16, страница 136 приведена формула
MIN_δ(х₁, х₂) = 0,5∙[х₁ + х₂ + δ² –  sqrt((х₁ – х₂)² + δ²)]                                        (6)
Из сравнения формул (5) и (6) следует, что они отличаются только наличием в формуле (5) δ²/sqrt((х₁ – х₂)² + δ²), а формуле (6), соответственно, δ².
Для того чтобы формулы (5) и (6) были равны (строго эквивалентны) требуется выполнить условие
δ² =  δ²/sqrt((х₁ – х₂)² + δ²) или, разделив обе части этого равенства на δ², будем иметь 1 = 1/sqrt ((х₁ – х₂)² + δ²).
Однако тогда необходимо выполнить условие 
sqrt((х₁ – х₂)² + δ²) = 1 или (х₁ – х₂)² + δ² = 1 для всех х₁, х₂, принимающих значения на [0, 1], и δ = 0,05. 
Приведем примеры, опровергающие отношение равенства (х₁ – х₂)² + δ² = 1.  
При х₁ = 1, х₂ = 1 и δ = 0,05 получим (1 – 1)² + 0,0025 = 0,0025 не равно 1.
Выполним вычисления при х₁ = 0,8, х₂ = 0,1 и δ = 0,05  получим 0,7² + 0,0025 = 0,4925 не равно 1. 
Следовательно, отношение равенства формул (5) и (6) не выполняется для всех х₁,  х₂из интервала [0,1]. Как известно, для опровержения выполнения отношения равенства этих формул для всех х₁,  х₂ из интервала [0,1] необходимо и  достаточно задать хотя бы один набор переменных, для  которого отношение равенства не выполняется. Примеры, опровергающие равенство (х₁ – х₂)² + δ² = 1, представлены выше для наборовх₁ = 1 и х₂ = 1, а также х₁ = 0,8 и х₂ = 0,1. 
Кроме того, формула 4.16 из монографии А. Пегата [1]
MIN_δ(х₁, х₂) = 0,5∙(х₁ + х₂ + δ² –  sqrt((х₁ – х₂)² + δ²)) представляет собой стандартную математическую нелепость (абсурд) в нечеткой логике. Действительно, при х₁ = 0, х₂ = 0   и  δ = 0,05 получим 
MINδ(х₁, х₂) = 0,5∙( 0 + 0 + δ² – sqrt((0 – 0)² + δ²)) = 0,5∙(0,0025 – 0,05) = – 0,02375, 
чего быть не может, на основании того, что результат MINδ(х₁, х₂) принимает свои значения в нечеткой логике только на интервале [0, 1]. Для любого человека, владеющего школьными знаниями математики, понятно, что отрицательных значений на интервале [0, 1] нет и быть не может. Ясно, что формулу (6) нельзя применять ни в каких приложениях нечеткой логики. 
При использовании корректной  формулы (5) при х₁ = 0, х₂ = 0   и  δ = 0,05 получим результат 0. При подстановке в (5) х₁ = 1, х₂ = 1   и  δ = 0,05 получим результат 1. 
Однако некто Максим Владимирович  Бобырь (Юго-Западный государственный университет, г Курск) , использовал в своей докторской диссертации формулу (6), представляющую собой в нечеткой логике стандартную математическую нелепость и получил с ее помощью не соответствующие действительности результаты нечеткого логического вывода, который является основополагающей частью его диссертации. Использование в докторской диссертации М.В. Бобыря формулы (6) с грубой математической ошибкой аннулирует все его алгоритмы нечеткого логического вывода, нечеткую модель и адаптивную систему управления на основе неадекватной модели. Однако М.В. Бобырь, по моему мнению, по причине математического невежества не может понять сущности своего научного заблуждения и его последствий. Докторская диссертация с математически несостоятельным логическим выводом и средствами его реализации была защищена и утверждена Министерством образования и науки РФ. Абсурд в нашей науке и жизни.
На основании изложенного  математически установлена грубая математическая ошибка в монографии Анджея Пегата. Вся вина за эту  ошибку, в первую очередь, возлагается на редактора перевода монографии на русский язык. Вся вина за использование грубой математической ошибки из монографии А. Пегата  в докторской диссертации Бобыря М.В., полагаю,  возлагается на ее автора и его научного консультанта В.С. Титова, оппонентов и членов экспертного совета Высшей аттестационной комиссии  при Министерстве образования и науки РФ со всеми вытекающими выводами. 
Парадокс! Грубая математическая ошибка из Польши превращается  в России в докторскую диссертацию и приводит к появлению  докторов технических наук с недопустимо низким уровнем математической культуры (оценочное суждение) в нечеткой логике. Как же такого рода доктора наук могут принимать у студентов экзамены, курсовые проекты, выпускные квалификационные работы, а также быть членами диссертационных советов, оппонировать диссертации и относить себя чуть-ли не к главным специалистам страны в нечеткой логике, не имея необходимых математических знаний для проверки простых формул?  Как могло утвердить диссертацию со стандартной математической нелепостью Министерство образования и науки РФ? 
________________________
Пегат А. Нечеткое моделирование и управление / пер. с англ. - М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2009. - 798 с. (Адаптивные и интеллектуальные системы).
https://yadi.sk/d/lW56GDTyZvVfq

PS. Буду благодарен за обнаружение технических ошибок в тексте.